Научная книга Поиск по сайту
Главная
Поиск по сайту

Раздел: БИБЛИОТЕКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Короткий путь http://bibt.ru

Адрес этой страницы

Предыдущая Оглавление книги Следующая

Условия пластичности. . Элементарный тетраэдр, грани которого совпадают с главными плоскостями.

Условия пластичности устанавливают соотношения между действующими напряжениями, при которых металл переходит из упругого состояния в пластическое. При линейном одноосном напряженном состоянии этот переход происходит, когда действующее напряжение достигает напряжения предела текучести σT. В случае сложного напряженного состояния (плоского или объемного) число возможных комбинаций значений действующих напряжений, вызывающих переход упругих деформаций металла в пластические, может быть бесконечно велико. Эти возможные комбинации определяются уравнениями пластичности, которые выводятся на основании экспериментальной проверки принятых гипотез и определяют связи между напряжениями и деформациями при заданных температурно-скоростных параметрах.

В обработке металлов давлением при анализе напряженно-деформированного состояния заготовок в разных операциях наибольшее распространение получили условия постоянства максимальных касательных напряжений и условие постоянства удельной энергии формоизменения.

Первое условие — постоянство максимальных касательных напряжений формулируется следующим образом: пластическое состояние наступает тогда, когда какое-либо одно из трех главных касательных напряжений достигает вполне определенной величины, равной половине напряжения текучести металла при линейном напряженном состоянии. Эта гипотеза основана на том, что на поверхности заготовки с развитием пластической деформации появляются линии скольжения в направлениях действия главных касательных напряжений. Поэтому естественно предположить, что пластическое деформирование наступает тогда, когда главные касательные напряжения достигают экстремальных значений, которые зависят только от свойств деформируемого металла и не зависят от характера напряженного состояния.

Второе условие — энергетическая гипотеза утверждает, что переход деформируемого металла в пластическое состояние происходит независимо от схемы напряженного состояния тогда, когда потенциальная энергия формоизменения, отнесенная к единице объема, достигает некоторой величины, зависящей только от свойств деформируемого металла.


Элементарный тетраэдр, грани которого совпадают с главными плоскостями

Рис. 4. Элементарный тетраэдр, грани которого совпадают с главными плоскостями

Рассмотрим выделенный в деформируемом геле элементарный объем, ограниченный тремя гранями (ВОС, АОС и АОВ), совпадающими с главными плоскостями, и четвертой произвольно ориентированной гранью ABC (рис. 4). На трех гранях полученного тетраэдра будут действовать главные напряжения σ123, а на четвертой грани будет действовать полное напряжение T имеющее нормальную и касательную составляющие σн и τ.

Обозначим косинусы углов, образующие нормаль N к произвольно ориентированной грани ABC с главными осями 1, 2, 3, через cos α= cos(N;1)=a1; cos β = cos(N;2)=a2; cos γ=cos(N;3)=a3.

Эти косинусы являются направляющими относительно грани ABC, а соотношение их между собой определяется известным из аналитической геометрии уравнением формула (23)

Из условия равновесия сил на гранях тетраэдра нормальное σн и касательное τ напряжения на грани ABC выражаются следующими уравнениями: формула (24)

Из уравнения (23) формула Тогда:

формула (25)

Для определения положения грани с максимальным по величине касательным напряжением уравнение (25) следует продифференцировать по a1 и a2 и полученные первые производные приравнять нулю. Анализ показывает, что максимальные или главные касательные напряжения действуют на гранях, проходящих через одну координатную ось и делящих угол между двумя другими осями пополам, т. е. наклоненных к двум координатным плоскостям под углом 45°: формула

Подстановка этих значений косинусов в уравнение (24) дает

формула (26)

Для других граней получим аналогичные выражения:

формула (27)

формула (28)

Здесь τ123— максимальные или главные касательные напряжения.

При линейном напряженном состоянии (когда σ23) переходов пластическое состояние совершается при следующем соотношении:

формула

Как было указано выше, условие постоянства максимальных касательных напряжений не зависит от схемы напряженного состояния, поэтому в окончательном виде это условие с учетом уравнений (26)—(28) можно записать так:

формула

Для перехода от упругих деформаций к пластическим достаточно выполнение одного из этих трех равенств.

При плоском напряженном состоянии (σ2=0) условие пластичности выражается уравнением σ13 = ±σT, где σ1= σmax, σ3 = σmin и имеется в виду, что σ2ср =0 (среднее главное напряжение). Если σ2=0 не среднее, а одно из крайних напряжений, то уравнение пластичности изменяется. Тогда в зависимости от соотношений главных напряжений уравнения пластичности для плоского напряженного состояния имеют вид: формула (29)

Первое уравнение используется тогда, когда напряжения σ1 и σ3 имеют разные знаки, а последние два — когда эти напряжения имеют одинаковые знаки. Согласно энергетической гипотезе формула (30)

При σ21 1max) или при σ23 3min) из уравнения (29)

следует, что ±(σ13)=σT.

Если положить формула что является условием плоского деформированного состояния (ε2=0) [см. уравнения (13) и (17)], то из выражения (30) получим формула

В результате уравнение (30) можно в упрощенной форме представить в виде
±(σ13)=βσT, (31)

где коэффициент β учитывает влияние среднего главного напряжения σ2 и может изменяться в пределах 1,0—1,15. Максимальное значение коэффициента β имеет место при плоском деформированном состоянии, когда видом напряженно-деформированного состояния является сдвиг.

Уравнением (31) можно пользоваться и для плоского напряженного состояния. Однако в этом случае следует иметь в виду, что если σ2=0 не является средним напряжением, то условие пластичности выражается как формула

Оба условия пластичности — условие постоянства главных касательных напряжений и энергетическое условие — совпадают при линейном напряженном состоянии (σ23=0), при объемном напряженном состоянии, когда среднее главное напряжение равно одному из крайних напряжений ( σ21 или σ2= σ3) а также при плоском напряженном состоянии, когда оба напряжения равны между собой ( σ1= σ3).

Перейти вверх к навигации
Перепечатка материалов запрещена.
Помогите другим людям найти библиотеку разместите ссылку: