Научная книга Поиск по сайту
Главная
Поиск по сайту

Раздел: БИБЛИОТЕКА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Короткий путь http://bibt.ru

Адрес этой страницы

Предыдущая Оглавление книги Следующая

Уравнения равновесия. Напряженное состояние элементарного объема.

Уравнения равновесия выражают условия равновесия выделяемой из объема деформируемого тела частицы в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям (рис. 3, а).

Изменение напряжений на параллельных гранях, отстоящих от точки О на величину половины длины ребер δxyz, будет выражаться частным дифференциалом по координате, вдоль которой переместилась грань. Например, на грани параллелепипеда, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением оси ОХ, компоненты напряженного состояния определятся выражениями:формула где— формулазначения в точке О частных производных компонентов напряженного состояния по координате X;

δx/2 — расстояние геометрического центра рассматриваемой грани от точки О.

Если предположить, что выделенный параллелепипед должен находиться в равновесии, то равнодействующая всех сил, действующих на граничную поверхность параллелепипеда, т. е. на шесть его граней, должна быть равна нулю. Следовательно, нулю должны быть равны и три ее проекции на координатные оси, т. е.

формула (20) и два аналогичных равенства.

Окончательно условие равновесия параллелепипеда выразится тремя уравнениями:формула (21)

Поскольку выделенная частица должна находиться в равновесии, то и моменты действующих на нее сил также должны равняться нулю. Отсюда следует, что пар ные касательные напряжения равны друг другу (τxyyx; τyzzy; τzxxz) и поэтому уравнения (21) содержат шесть неизвестных напряжений (три нормальных и три касательных) и задача статически неопределима.

Напряженное состояние элементарного объема: а — в прямоугольных координатах; б — в цилиндрических координатах. I — общий случай; II — при осесимметричном деформировании;







Рис. 3. Напряженное состояние элементарного объема: а — в прямоугольных координатах; б — в цилиндрических координатах. I — общий случай; II — при осесимметричном деформировании;

При штамповке деталей, имеющих форму тел вращения, полагают, что деформирование происходит с сохранением осевой симметрии нагрузки, т. е. напряжения и деформации будут одинаковыми во всех меридиональных сечениях, являющихся главными плоскостями напряженно-деформированного состояния. В этом случае удобнее пользоваться цилиндрической системой координат, где положение точки определяется радиус-вектором ρ, полярным углом θ и аппликатой z (рис. 3, б)

Выделим элементарный объем из тела вращения двумя меридиональными, двумя окружными сечениями и двумя разными по высоте сечениями. Нормальные и касательные напряжения на гранях этого объема будут изменяться только вдоль осей ρ и z и не будут зависеть от угла θ. Вследствие осевой симметрии внешних нагрузок на гранях, расположенных на меридиональных сечениях, касательные напряжения τθz и τρθ равны нулю. Тогда в силу парности будут равны нулю и касательные напряжения τ и τρθ . Следовательно, при осесимметричном деформировании на рассматриваемый элементарный объем действуют три (σθ; σρ; σz) нормальных напряжения и дваτ и τρz равных касательных напряжения (рис. 3, б).

Проектируя силы на оси ρ и z, получим условия равновесия в виде двух уравнений:

формула (22)

При листовой штамповке можно принять, что напряженное состояние заготовки плоское (σz=0), и тогда для осесимметричного деформирования решение задачи упрощается. При этих допущениях формула и условие равновесия (22) выразится одним дифференциальным уравнением в обыкновенных производных (напряжения в том случае изменяются только в зависимости от радиус-вектора ρ). В полярной системе координат это уравнение примет вид формула (22*)

Уравнение (22*) широко используется для анализа напряженно-деформированного состояния заготовок при операциях вытяжки гибки, раздачи и др., когда детали имеют форму тел вращения.

Перейти вверх к навигации
Перепечатка материалов запрещена.
Помогите другим людям найти библиотеку разместите ссылку: